LEDMinox

отзывов 78

Находится в Телекомуникации, ИТ

Связаться с компанией

Сообщение для компании Компания

Чтобы связаться с компанией заполните форму и отправьте сообщение


Отзывы о LEDMinox

    Отзыв от:
  • #

14.11.2017

Родиной арбуза является Южная Африка (Ботсвана, Лесото, Намибия, ЮАР: Капская провинция, Фри-Стейт, Гаутенг, Квазулу-Натал, Лимпопо, Мпумаланга, Северо-Западная провинция, Северо-Капская провинция)[3], где до сих пор встречается близкородственный дикий вид, колоцинт (Citrullus colocynthis). Этот вид обычно считается предком культурного арбуза, однако на основе генетических исследований (ДНК из хлоропластов) было выдвинуто предположение, что культурный и дикий арбузы происходят от общего предка — возможно, Citrullus ecirrhosus [en][4] («дыня тсамма»). Последняя, произрастающая в пустыне Калахари, и поныне является важным источником воды для бушменов.

Уже в Древнем Египте люди знали и возделывали арбузы. Доказательства выращивания арбуза в Египте известны с эпохи Среднего царства в XX веке до н. э. (арбузные семена в постройках Двенадцатой династии). Арбуз часто помещали в усыпальницы фараонов как источник пищи в их загробном существовании (семена были обнаружены и в гробнице Тутанхамона). Кроме того, он изображался на стенах гробниц и упоминался во многих медицинских рецептах древних папирусов. В одном из древнеегипетских мифов рассказывается, что арбуз вырос из мужского семени, рассеянного богом Сетом, безуспешно преследовавшим богиню Исиду.

Из стихов Вергилия следует, что арбуз был знаком и древним римлянам. В Древнем Риме его ели свежим либо засоленным, а также варили из него мёд. К X веку с ним познакомились и китайцы, называвшие его «дыней Запада». В сентябре каждого года они устраивали «арбузный праздник», где главным угощением был арбуз. Арабы придавали арбузу большое лечебное значение, приписывая ему свойство «…очищать тело и выносить болезни из тела, если принимать его постоянно перед едой».


Арбуз на натюрморте Джованни Станки, Италия, ок 1645—1672. Фрагмент
В средневековую Западную Европу арбузы были завезены в эпоху крестовых походов. На территорию современной России арбузы были завезены татарами в XIII—XIV веках.

Больше всего культивируется в Китае, далее с заметным отставанием следуют Турция, Иран, Египет, страны Америки, а также Россия и Узбекистан (см. таблицу внизу).

В России промышленная культура арбуза сосредоточена в Поволжье, некоторых местностях южных областей; здесь арбуз свободно дозревает на открытом воздухе, достигая при этом превосходных вкусовых качеств; а также на Украине — преимущественно в южных областях (больше всего в Херсонской) В средних чернозёмных областях, равно как и в более северных местностях, в грунте арбуз иногда не дозревает, поэтому культура на полях заменяется выводом его на так называемых паровых холмиках (ямах, заполненных навозом и конусообразно накрытых землёй) или в парниках. Для бахчевой культуры предпочитается целинный супесчаный чернозём, на котором плоды получаются крупнее, чем на суглинистом. Созревание ранних сортов — во второй половине июня, поздних — к осени.

Арбузы хорошо культивируются в степном и средиземноморском климате с долгим жарким сухим летом и мягкой, короткой зимой.

Ботаническое описание[править | править вики-текст]
Арбуз как вид был описан в 1794 году шведским натуралистом Карлом Петером Тунбергом, который дал ему название Momordica lanata. В род Арбуз (Citrullus) переведён в 1916 году японскими ботаниками Ниндзо Мацумурой и Такэносином Накаи.

Стебли тонкие, гибкие, ползучие или вьющиеся, обычно округло-пятигранные, длиной до 4 м и более, разветвлённые. Молодые части стебля густо опушены мягкими оттопыренными волосками.

Листья на длинных черешках, очерёдные, волосистые, грубоватые, в очертании треугольно-яйцевидные, при основании сердцевидные, длиной от 8—10 до 20—22 см и шириной от 5—10 до 15—18 см, с обеих сторон жестко шероховатые, глубоко трёхраздельные, доли их перисто-раздельные или дважды перисто-раздельные, с удлинённой на верхушке, острой средней долей, боковые доли обычно закруглённые, иногда листья цельные, более-менее лопастные.

Цветки однополые, с прицветничками лодочкообразной формы. Тычиночные цветки одиночные, диаметром 2—2,5 см, на мохнатом цветоносе; цветоложе широко колокольчатое, пушистое; чашелистики узко ланцетные до шиловидно-нитевидных; венчик снаружи зеленеющий и мохнатый, широко воронковидный, доли его продолговато-яйцевидные или овальные; тычинок пять, из них четыре попарно сросшиеся, а одна свободная. Пестичные цветки одиночные, несколько крупнее мужских; завязь более-менее опушённая; столбик тонкий, длиной около 5 мм; рыльце пятилопастное, зеленоватое.

Плод всех представителей рода Арбуз — многосемянная, сочная тыквина[2]. Плоды арбуза по форме, величине и окраске могут очень сильно отличаться друг от друга в зависимости от сорта; поверхность плодов в большинстве случаев гладкая.

Семена плоские, часто окаймлённые, разнообразно окрашенные, с рубчиком. Мякоть розовая или красная, очень сочная и сладкая, но есть сорта с беловато-жёлтой мякотью.

Цветёт в летние месяцы.

Растительное сырьё[править | править вики-текст]
Химический состав[править | править вики-текст]
Плодовая мякоть арбуза содержит от 5,5 до 13 % легкоусваиваемых сахаров (глюкоза, фруктоза и сахароза). К моменту созревания преобладают глюкоза и фруктоза, сахароза накапливается в процессе хранения арбуза. В мякоти содержатся пектины — 0,68 %, белки — 0,7 %; кальций — 14 мг/%, магний — 224 мг/%, натрий — 16 мг/%, калий — 64 мг/%, фосфор — 7 мг/%, железо в органической форме — 1 мг/%; витамины — тиамин, рибофлавин, ниацин, фолиевая кислота, каротин — 0,1—0,7 мг/%, аскорбиновая кислота — 0,7—20 мг/%, щелочные вещества. В 100 граммах съедобной части плода содержится 38 килокалорий.

Арбузные семена содержат до 25 % жирного масла. Масло семян арбуза содержит линолевую, линоленовую и пальмитиновую кислоты, по физико-химическим свойствам похоже на миндальное масло и может заменять его, по вкусовым — на оливковое[5].

Фармакологические свойства[править | править вики-текст]
В качестве лекарственного сырья используются плоды зрелого арбуза (мякоть, корка) и семена.

Арбуз обладает сильным мочегонным, желчегонным, противовоспалительным, жаропонижающим, слабительным и общеукрепляющим свойствами. Нормализует процессы обмена веществ, усиливает перистальтику кишечника.

Значение и применение[править | править вики-текст]
На юге из арбуза готовят нардек («арбузный мёд»), упаривая арбузный сок до густоты мёда. Нардек содержит до 20 % сахарозы и 40 % инвертного (расщеплённого) сахара.
ledminox 900
ledminox 700
ledminox 750
Соли железа, калия, натрия, фосфора, магния, содержащиеся в мякоти арбуза, благотворно влияют на деятельность органов кроветворения, пищеварения, сердечно-сосудистой системы, желёз внутренней секреции. Арбуз используют в лечебном питании при малокровии, заболеваниях сердечно-сосудистой системы, болезнях печени, камнях желчного пузыря и мочевыводящих путей, а также как мочегонное при мочекислом диурезе, при ожирении и необходимости голодания по показанию в ходе лечения. Он не вызывает раздражения почек и мочевыводящих путей. Содержание в арбузной мякоти легко усвояемых сахаров и воды обусловливает применение арбуза при хронических и острых заболеваниях печени. Клетчатка арбузной мякоти улучшает пищеварение, способствует выведению холестерина, а содержащаяся в арбузе фолиевая кислота и витамин С оказывают противосклеротическое действие. Сок арбуза хорошо утоляет жажду при лихорадочном состоянии. Содержание щелочных соединений регулирует кислотно-щелочное равновесие, вследствие чего арбуз применяют при ацидозах различного происхождения.

Арбуз обладает свойством накапливать в плодах нитраты. Иногда приём арбуза может вызывать тошноту, рвоту, желудочные боли и понос. У детей могут возникнуть тяжёлые диспепсические явления, сопровождающиеся рвотой и поносом.

Классификация[править | править вики-текст]
Square watermelon.jpg
Кубический арбуз (англ.).
Токио, Япония
Citrullus lanatus.jpg
Жёлтый арбуз.
Гибрид арбуза обыкновенного и дикого жёлтого арбуза
Разновидности и сорта[править | править вики-текст]
Разновидности
В рамках вида выделяют две разновидности[3]:

Citrullus lanatus var. citroides (L.H.Bailey) Mansf. — Ботсвана, Лесото, Намибия, ЮАР (Капская провинция, Свободное государство, Квазулу-Натал, Трансвааль); также известен как дыня тсамма
Citrullus vulgaris var. citroides L. H. Bailey
Citrullus lanatus var. lanatus — встречается только в культурном виде
[syn. Citrullus aedulis Pangalo]
Citrullus lanatus var. caffer (Schrad.) Mansf.
[syn. Citrullus vulgaris Schrad. ex Eckl. & Zeyh.]
[syn. Colocynthis citrullus (L.) Kuntze]
[syn. Cucurbita citrullus L.]
Сорта
Известные сорта бахчевых арбузов — астраханский, или быковский (белый), монастырский (зелёный с белыми полосами и с красными или серыми семенами), камышинский (такой же окраски), херсонский, мелитопольский, моздокский, урюпинский и другие. Некоторая часть арбузов поступает в солку, подобно огурцам, и для приготовления, путём варки и сгущения сочной мякоти, арбузного мёда (нардек, бекмес). При культуре арбуза на огороде или парнике семена берут лежалые (свежие дают малоплодные, хотя и сильного роста растения).

Из сортов заслуживают внимания наиболее ранние — яблочный, корейский, черноуска, малиновый крем и другие.

На Хоккайдо культивируется сорт денсуке, ягоды которого имеют необычную чёрную окраску корки. Это вызвано тем, что полосы на корке имеют настолько тёмный оттенок зелёного, что визуально трудноотличимы от чёрных. Ежегодно выращивается около 10 тысяч плодов этого сорта. Благодаря необычному внешнему виду и малому объёму производства этот сорт является самым дорогим сортом арбузов в мире. В 2008 году один из первых арбузов нового урожая был продан на аукционе за 650 тысяч японских йен (примерно 6300

14.11.2017

Родиной арбуза является Южная Африка (Ботсвана, Лесото, Намибия, ЮАР: Капская провинция, Фри-Стейт, Гаутенг, Квазулу-Натал, Лимпопо, Мпумаланга, Северо-Западная провинция, Северо-Капская провинция)[3], где до сих пор встречается близкородственный дикий вид, колоцинт (Citrullus colocynthis). Этот вид обычно считается предком культурного арбуза, однако на основе генетических исследований (ДНК из хлоропластов) было выдвинуто предположение, что культурный и дикий арбузы происходят от общего предка — возможно, Citrullus ecirrhosus [en][4] («дыня тсамма»). Последняя, произрастающая в пустыне Калахари, и поныне является важным источником воды для бушменов.

Уже в Древнем Египте люди знали и возделывали арбузы. Доказательства выращивания арбуза в Египте известны с эпохи Среднего царства в XX веке до н. э. (арбузные семена в постройках Двенадцатой династии). Арбуз часто помещали в усыпальницы фараонов как источник пищи в их загробном существовании (семена были обнаружены и в гробнице Тутанхамона). Кроме того, он изображался на стенах гробниц и упоминался во многих медицинских рецептах древних папирусов. В одном из древнеегипетских мифов рассказывается, что арбуз вырос из мужского семени, рассеянного богом Сетом, безуспешно преследовавшим богиню Исиду.

Из стихов Вергилия следует, что арбуз был знаком и древним римлянам. В Древнем Риме его ели свежим либо засоленным, а также варили из него мёд. К X веку с ним познакомились и китайцы, называвшие его «дыней Запада». В сентябре каждого года они устраивали «арбузный праздник», где главным угощением был арбуз. Арабы придавали арбузу большое лечебное значение, приписывая ему свойство «…очищать тело и выносить болезни из тела, если принимать его постоянно перед едой».


Арбуз на натюрморте Джованни Станки, Италия, ок 1645—1672. Фрагмент
В средневековую Западную Европу арбузы были завезены в эпоху крестовых походов. На территорию современной России арбузы были завезены татарами в XIII—XIV веках.

Больше всего культивируется в Китае, далее с заметным отставанием следуют Турция, Иран, Египет, страны Америки, а также Россия и Узбекистан (см. таблицу внизу).

В России промышленная культура арбуза сосредоточена в Поволжье, некоторых местностях южных областей; здесь арбуз свободно дозревает на открытом воздухе, достигая при этом превосходных вкусовых качеств; а также на Украине — преимущественно в южных областях (больше всего в Херсонской) В средних чернозёмных областях, равно как и в более северных местностях, в грунте арбуз иногда не дозревает, поэтому культура на полях заменяется выводом его на так называемых паровых холмиках (ямах, заполненных навозом и конусообразно накрытых землёй) или в парниках. Для бахчевой культуры предпочитается целинный супесчаный чернозём, на котором плоды получаются крупнее, чем на суглинистом. Созревание ранних сортов — во второй половине июня, поздних — к осени.

Арбузы хорошо культивируются в степном и средиземноморском климате с долгим жарким сухим летом и мягкой, короткой зимой.

Ботаническое описание[править | править вики-текст]
Арбуз как вид был описан в 1794 году шведским натуралистом Карлом Петером Тунбергом, который дал ему название Momordica lanata. В род Арбуз (Citrullus) переведён в 1916 году японскими ботаниками Ниндзо Мацумурой и Такэносином Накаи.

Стебли тонкие, гибкие, ползучие или вьющиеся, обычно округло-пятигранные, длиной до 4 м и более, разветвлённые. Молодые части стебля густо опушены мягкими оттопыренными волосками.

Листья на длинных черешках, очерёдные, волосистые, грубоватые, в очертании треугольно-яйцевидные, при основании сердцевидные, длиной от 8—10 до 20—22 см и шириной от 5—10 до 15—18 см, с обеих сторон жестко шероховатые, глубоко трёхраздельные, доли их перисто-раздельные или дважды перисто-раздельные, с удлинённой на верхушке, острой средней долей, боковые доли обычно закруглённые, иногда листья цельные, более-менее лопастные.

Цветки однополые, с прицветничками лодочкообразной формы. Тычиночные цветки одиночные, диаметром 2—2,5 см, на мохнатом цветоносе; цветоложе широко колокольчатое, пушистое; чашелистики узко ланцетные до шиловидно-нитевидных; венчик снаружи зеленеющий и мохнатый, широко воронковидный, доли его продолговато-яйцевидные или овальные; тычинок пять, из них четыре попарно сросшиеся, а одна свободная. Пестичные цветки одиночные, несколько крупнее мужских; завязь более-менее опушённая; столбик тонкий, длиной около 5 мм; рыльце пятилопастное, зеленоватое.

Плод всех представителей рода Арбуз — многосемянная, сочная тыквина[2]. Плоды арбуза по форме, величине и окраске могут очень сильно отличаться друг от друга в зависимости от сорта; поверхность плодов в большинстве случаев гладкая.

Семена плоские, часто окаймлённые, разнообразно окрашенные, с рубчиком. Мякоть розовая или красная, очень сочная и сладкая, но есть сорта с беловато-жёлтой мякотью.

Цветёт в летние месяцы.

Растительное сырьё[править | править вики-текст]
Химический состав[править | править вики-текст]
Плодовая мякоть арбуза содержит от 5,5 до 13 % легкоусваиваемых сахаров (глюкоза, фруктоза и сахароза). К моменту созревания преобладают глюкоза и фруктоза, сахароза накапливается в процессе хранения арбуза. В мякоти содержатся пектины — 0,68 %, белки — 0,7 %; кальций — 14 мг/%, магний — 224 мг/%, натрий — 16 мг/%, калий — 64 мг/%, фосфор — 7 мг/%, железо в органической форме — 1 мг/%; витамины — тиамин, рибофлавин, ниацин, фолиевая кислота, каротин — 0,1—0,7 мг/%, аскорбиновая кислота — 0,7—20 мг/%, щелочные вещества. В 100 граммах съедобной части плода содержится 38 килокалорий.

Арбузные семена содержат до 25 % жирного масла. Масло семян арбуза содержит линолевую, линоленовую и пальмитиновую кислоты, по физико-химическим свойствам похоже на миндальное масло и может заменять его, по вкусовым — на оливковое[5].

Фармакологические свойства[править | править вики-текст]
В качестве лекарственного сырья используются плоды зрелого арбуза (мякоть, корка) и семена.

Арбуз обладает сильным мочегонным, желчегонным, противовоспалительным, жаропонижающим, слабительным и общеукрепляющим свойствами. Нормализует процессы обмена веществ, усиливает перистальтику кишечника.

Значение и применение[править | править вики-текст]
На юге из арбуза готовят нардек («арбузный мёд»), упаривая арбузный сок до густоты мёда. Нардек содержит до 20 % сахарозы и 40 % инвертного (расщеплённого) сахара.

Соли железа, калия, натрия, фосфора, магния, содержащиеся в мякоти арбуза, благотворно влияют на деятельность органов кроветворения, пищеварения, сердечно-сосудистой системы, желёз внутренней секреции. Арбуз используют в лечебном питании при малокровии, заболеваниях сердечно-сосудистой системы, болезнях печени, камнях желчного пузыря и мочевыводящих путей, а также как мочегонное при мочекислом диурезе, при ожирении и необходимости голодания по показанию в ходе лечения. Он не вызывает раздражения почек и мочевыводящих путей. Содержание в арбузной мякоти легко усвояемых сахаров и воды обусловливает применение арбуза при хронических и острых заболеваниях печени. Клетчатка арбузной мякоти улучшает пищеварение, способствует выведению холестерина, а содержащаяся в арбузе фолиевая кислота и витамин С оказывают противосклеротическое действие. Сок арбуза хорошо утоляет жажду при лихорадочном состоянии. Содержание щелочных соединений регулирует кислотно-щелочное равновесие, вследствие чего арбуз применяют при ацидозах различного происхождения.

Арбуз обладает свойством накапливать в плодах нитраты. Иногда приём арбуза может вызывать тошноту, рвоту, желудочные боли и понос. У детей могут возникнуть тяжёлые диспепсические явления, сопровождающиеся рвотой и поносом.

ledminox 700
ledminox 900
ledminox 750

Классификация[править | править вики-текст]
Square watermelon.jpg
Кубический арбуз (англ.).
Токио, Япония
Citrullus lanatus.jpg
Жёлтый арбуз.
Гибрид арбуза обыкновенного и дикого жёлтого арбуза
Разновидности и сорта[править | править вики-текст]
Разновидности
В рамках вида выделяют две разновидности[3]:

Citrullus lanatus var. citroides (L.H.Bailey) Mansf. — Ботсвана, Лесото, Намибия, ЮАР (Капская провинция, Свободное государство, Квазулу-Натал, Трансвааль); также известен как дыня тсамма
Citrullus vulgaris var. citroides L. H. Bailey
Citrullus lanatus var. lanatus — встречается только в культурном виде
[syn. Citrullus aedulis Pangalo]
Citrullus lanatus var. caffer (Schrad.) Mansf.
[syn. Citrullus vulgaris Schrad. ex Eckl. & Zeyh.]
[syn. Colocynthis citrullus (L.) Kuntze]
[syn. Cucurbita citrullus L.]
Сорта
Известные сорта бахчевых арбузов — астраханский, или быковский (белый), монастырский (зелёный с белыми полосами и с красными или серыми семенами), камышинский (такой же окраски), херсонский, мелитопольский, моздокский, урюпинский и другие. Некоторая часть арбузов поступает в солку, подобно огурцам, и для приготовления, путём варки и сгущения сочной мякоти, арбузного мёда (нардек, бекмес). При культуре арбуза на огороде или парнике семена берут лежалые (свежие дают малоплодные, хотя и сильного роста растения).

Из сортов заслуживают внимания наиболее ранние — яблочный, корейский, черноуска, малиновый крем и другие.

На Хоккайдо культивируется сорт денсуке, ягоды которого имеют необычную чёрную окраску корки. Это вызвано тем, что полосы на корке имеют настолько тёмный оттенок зелёного, что визуально трудноотличимы от чёрных. Ежегодно выращивается около 10 тысяч плодов этого сорта. Благодаря необычному внешнему виду и малому объёму производства этот сорт является самым дорогим сортом арбузов в мире. В 2008 году один из первых арбузов нового урожая был продан на аукционе за 650 тысяч японских йен (примерно 6300

20.10.2017

Заказала в этом магазине проектор, так как давно мечтала о нем, с доставкой проблем никаких не возникло, без задержек. Проектор качественный, хорошие технические характеристики.

20.10.2017

Я до покупки проектора фирмы Ledminox не имел опыта работы с этими устройствами. Так что сравнивать не с чем. Однако,могу сказать ,что качество картинки вполне сносное. Проектор достаточно прост в использовании. Я доволен.

20.10.2017

Решила купить проектор домой для детей, и для развлечения, и для обучения. Выбрала Ledminox, надеясь на хорошее качество немецкого бренда. И не ошиблась. Изображение и цветопередача отличные, звук тоже хороший. Легкий и в управлении не сложный даже для детей.

20.10.2017

Покупали проектор на фирму для показа рабочих презентаций. По характеристикам и чёткости изображения руководство всё устроило, теперь проектор заслуженно стоит в конференц-зале. К Новому году планируем показать на нём фильм о нашем предприятии, сделать сюрприз сотрудникам.
В целом, по опыту, рекомендую проектор. Он зарекомендовал себя только с положительной стороны!

20.10.2017

Купили крутой проектор фирмы Лендминокс. Реально крутое немецкое качество, сразу видно. Прикупили еще и экран и теперь у нас в доме настоящий кинотеатр. Отличная фирма, рекомендую!

20.10.2017

Брал данный проектор для просмотра фильмов дома, так как нет времени ходить по кинотеатрам, но при этом хотелось смотреть фильмы в хорошем качестве, да и детишек хотелось порадовать их любимыми мультфильмами в хорошем качестве. Достоинства: Хорошее качество изображения, низкая цена, недостатков за время эксплуатации выявлено не было. покупкой очень доволен.

    Отзыв от:
  • #

05.09.2017

eiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
Xeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X

04.09.2017

Китайская подделка. Боты заполонили все форумы хвалебными отзывами.

04.09.2017

Пользуюсь проектором уже месяц - не заметила никаких проблем и люфтов.
По телефону менеджер сказал, что тк вы не знакомы с маркой можете попользоваться, если что - вернете. Я согласилась так как марку не знала до этого.
За время пользования возникали некоторые вопросы - мне по телефону дали все консультации.

Спасибо!

03.08.2017

Впечатления остались самыми положительными! Такая красочная картинка, сочные цвета, никаких нареканий нет.

26.07.2017

Купил ledminox в детскую, чтобы дети не портили глаза, сидя у компьютера и телевизора. Доволен как слон! Смотрят своих фиксиков, и тд)
Картинка нужна была яркая для мультиков и читабельна - ledminox отлично показал себя. А в доме тишина и спокойствие)

11.07.2017

Как и все нашла эту марку в инернете благодаря рекламе. Созвонилась с магазином (точнее, оставила номер, а они мне сами в ответ). Ledminox по характеристикам на сайте на первый взгляд подошел. Решила довериться консультанту. Обговорили каждый момент, решили остановиться на ledminox 900. И так я вообще брала проектор домой, смотреть фильмы, сериалы турецкие
И знаете, я осталась очень довольна! Начиная с сервиса, консультаций, заканчивая конечным результатом в лице моего хорошего настроения! Лето в нашем регионе не удалось в этом году, зато все сериалы посмотрела на этом девайсе. Цена-качество!

04.07.2017

Курьеры, чтоб их ***........
Но а так, вообще доволен! Лично МНЕ, нравится и устраивает как он показывает.
Сравнивал тоже перед покупкой со многими проекторами - почему-то желание возникло купить именно ledminox и я не ошибся! Спасибо!

30.06.2017

Хорошая модель для дома!Если вам нужен проектор, чтобы просмотреть новинку кино или показать мультфильм дома - то это очень хороший вариант!
Шумит абсолютно умеренно, как и все проекторы этого класса.
Сравнивал многие проекторы, трогая в магазине, когда пришел LEdminox - качество вот реально видно, хороший пластик, без царапин, без щелей.

Изображение нам лично понравилось!
Одним словом, могу порекомендовать.

29.06.2017

Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1

29.06.2017

Китайский ширпотреб по европейским ценам. LedMinox = Ledunix Все модели одинаковые, даже корпуса не поменяли. Только Ledunix не скрывает, что это китайская фирма, а LedMinox спрятала иероглифы (как страус голову в песок) и думает, что это не заметно))) Для продажи LedMinox запустила сайт pixelive.ru якобы со скидками на все топовые бренды проекторов (порядка 100 моделей), но их просто у них нет. После заказа на сайте перезванивает менеджер, который ненавязчиво предлагает поменять модель проектора в заказе на китайский проектор, если настаивать на своем проекторе, то заказ принимают, но через пол часа приходит смс об отмене заказа. Проверено на себе, и жену попросил сделать заказ))) точно такой же результат.

27.06.2017

Не могу сказать ничего плохого об этом проекторе! Всегда пишу отзывы о своих покупках. И в случае удачи и в случае неудачи.

И этот отзыв будет в хорошем и положительном ключе.
Оператор по телефону советовал этот малоизвестный проектор, как качественный и конкурентно способный в отношении таких гигантов как Canon, BenQ, Asus, Acer. Я по началу отнеслась к этому с неким сомнением, но нашла отзыв, в котором пользователь говорит о том, что ее родственница видела эту марку в Германии и я себя успокоила, что Ledminox 900 - это Германия!

В процессе пользования не выявлены никакие проблемы, все показывает, не шумит! Не могу найти в нем минусов ни в сборке, ни в работе, вот правда. А я люблю придраться.

Могу посоветовать!

26.06.2017

Этот проектор могу назвать одним из удачнейших преставителей подобной техники. Я не являюсь супер ценителем домашних просмотров кино, но на покупке настояла жена, которой просто захотелось романтики....короче, выбором занималась она, а я в свою очередь восхищен идеей и исполнением.
Остались довольны работой, мало шума, достойное изображение, поддерживает вай фай, не теряет сигнала, настройки все интуитивно понятные, потому что как всегда, люди сначала ломают и потом читают инструкции. Лично у меня сборка удачная, знакомый спросил купил бы я такой еще раз? Я ответил: ДА!
Что касаемо самого сервиса, доставили моментально практически, пару раз звонил с уточняющими вопросами, были моменты когда сложно дозвониться, но потом трубку брали и отвечали. Понимаю, что как говориться, всякое бывает, поэтому не критично.....
Однозначно советую.

21.06.2017

Мои впечатления от проектора остались хорошими. Не могу выделить какие-то недочеты, ну вот правда. Все работает, включается, изображение мне понравилось. Спросите, могу ли посоветовать? Ну думайте сами смотрите сами, но я ничего плохого не могу сказать про ledminox.

16.06.2017

/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ
/>  フ
     |  _  _|
     /`ミ _x 彡
     /      |
    /  ヽ   ノ
 / ̄|   | | |
 | ( ̄ヽ__ヽ_)_)
 \二つ

16.06.2017

Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800

16.06.2017

Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700

16.06.2017

Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700
ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800 ledminox 800

16.06.2017

Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700 Ledminox 700

16.06.2017

Родиной арбуза является Южная Африка (Ботсвана, Лесото, Намибия, ЮАР: Капская провинция, Фри-Стейт, Гаутенг, Квазулу-Натал, Лимпопо, Мпумаланга, Северо-Западная провинция, Северо-Капская провинция)[3], где до сих пор встречается близкородственный дикий вид, колоцинт (Citrullus colocynthis). Этот вид обычно считается предком культурного арбуза, однако на основе генетических исследований (ДНК из хлоропластов) было выдвинуто предположение, что культурный и дикий арбузы происходят от общего предка — возможно, Citrullus ecirrhosus [en][4] («дыня тсамма»). Последняя, произрастающая в пустыне Калахари, и поныне является важным источником воды для бушменов.

Уже в Древнем Египте люди знали и возделывали арбузы. Доказательства выращивания арбуза в Египте известны с эпохи Среднего царства в XX веке до н. э. (арбузные семена в постройках Двенадцатой династии). Арбуз часто помещали в усыпальницы фараонов как источник пищи в их загробном существовании (семена были обнаружены и в гробнице Тутанхамона). Кроме того, он изображался на стенах гробниц и упоминался во многих медицинских рецептах древних папирусов. В одном из древнеегипетских мифов рассказывается, что арбуз вырос из мужского семени, рассеянного богом Сетом, безуспешно преследовавшим богиню Исиду.

Из стихов Вергилия следует, что арбуз был знаком и древним римлянам. В Древнем Риме его ели свежим либо засоленным, а также варили из него мёд. К X веку с ним познакомились и китайцы, называвшие его «дыней Запада». В сентябре каждого года они устраивали «арбузный праздник», где главным угощением был арбуз. Арабы придавали арбузу большое лечебное значение, приписывая ему свойство «…очищать тело и выносить болезни из тела, если принимать его постоянно перед едой».


Арбуз на натюрморте Джованни Станки, Италия, ок 1645—1672. Фрагмент
В средневековую Западную Европу арбузы были завезены в эпоху крестовых походов. На территорию современной России арбузы были завезены татарами в XIII—XIV веках.

Больше всего культивируется в Китае, далее с заметным отставанием следуют Турция, Иран, Египет, страны Америки, а также Россия и Узбекистан (см. таблицу внизу).

В России промышленная культура арбуза сосредоточена в Поволжье, некоторых местностях южных областей; здесь арбуз свободно дозревает на открытом воздухе, достигая при этом превосходных вкусовых качеств; а также на Украине — преимущественно в южных областях (больше всего в Херсонской) В средних чернозёмных областях, равно как и в более северных местностях, в грунте арбуз иногда не дозревает, поэтому культура на полях заменяется выводом его на так называемых паровых холмиках (ямах, заполненных навозом и конусообразно накрытых землёй) или в парниках. Для бахчевой культуры предпочитается целинный супесчаный чернозём, на котором плоды получаются крупнее, чем на суглинистом. Созревание ранних сортов — во второй половине июня, поздних — к осени.

Арбузы хорошо культивируются в степном и средиземноморском климате с долгим жарким сухим летом и мягкой, короткой зимой.

16.06.2017

Давно думал приобрести себе проектор, сначала хочу привести небольшую справку:


И так, История развития проекционного оборудования пока невелика. Направление это молодое, и относительно недавно вступило в стадию стремительного роста. Но где его истоки и что было в начале?

Любая проекционная система это три элемента: источник света, проецируемый объект (носитель изображения) и линза. Конечно, в начале был свет... А принцип проекции первым сформулировал Платон. Он предложил такую аллегорию: человечество сидит у входа в пещеру и смотрит на ее дальнюю стену, повернувшись спиной к внешнему миру. Все, что в этом мире происходит, отражается на стене пещеры в виде теней.

Первый DLP проектор был создан фирмой InFocus на основе DMD кристалла, выпущенного Texas Instruments. Фирма Texas Instruments предложила совершенно новую проекционную систему DLP (Digital Light Processing - цифровая обработка света), в которой для отражения света используются миниатюрные зеркала, являющиеся компонентами DMD (Digital Micromirror Display - цифровой дисплей на основе микрозеркал). Зеркала выполняются на полупроводниковых кристаллах во многом подобно интегральным схемам. Однако вместо транзисторов кристалл DMD покрыт миниатюрными зеркалами. Подаваемый на зеркало электрический сигнал наклоняет его. В одном положении зеркало направляет свет через оптическую систему дисплея на экран; в другом - свет не попадает в объектив, выключая тем самым пиксел. Вес DLP проекторов был меньше, а картинка более однородной и естественной. Но белый цвет был недостаточно белым, цветовой фильтр для окрашивания пучка света имел три сектора: красный, зеленый или синий цвет. Позднее был добавлен "белый" сектор.





Очень интересная инфа! Читайте по-больше, а я купил себе проектор :)

    Отзыв от:
  • #

15.06.2017

Взял в офис.
Не буду сильно разглагольствовать, так вышло, что с помощью проектора гораздо быстрее доходит информация до некоторых тугодумов, работающих у нас.
Лично меня и офисных все утроило полностью. Показывает и показывает - я только рад! Приехал проектор быстро. Оплатил курьеру все как обещано на сайте.

14.06.2017

Лично мне посоветовала подруга приобрести для дочери (8 лет). Сейчас каникулы во всю, задали очень много на дом читать и изучать. Я решила не забивать говову ребенку сложной для нее литературой, а пришла к выводу, что интерактивное образование - это то, чего не хватает нашим детям в школах. Результаты на лицо!
Ей очень нравится смотреть фильмы\мультфильмы по мотивам тех книг, которые нужно читать за лето. Подлючаем к проектору и смотрим вечерами вместе с семьей. Что касается качества самого аппарата, то лично мы, остались довольны! На каждый роток не накинешь платок как говориться, но в нашей семье проектор ledminox очень прижился! Не шумит сильно, как проекторы у меня на работе. На самом деле, ассортимент проекторов очень велик, поэтому выбирайте на свой вкус и думайте своей головой! Всем удачии!

13.06.2017

Привет!
А мне понравился...Может просто похожими показались? Проекторы на самом деле-то далеко не плохие! Работают же, уже хорошо, да и качество изображения меня вполне радует! Не кинотеатральное качество, конечно, но тоже ничего!

13.06.2017

Обычные китайские проекторы , которые пподают в 3-4 раза дороже , не дайте себя обмануть .
Этими шайтан коробками торгует только два магазина , больше вы негде про них информацию не найдёте, и да нет там никокого full hd.

07.06.2017

Остался крайне довольным! Проекторы привезли в срок, не побитые. Само качество тоже отличное, не китайское палево

29.05.2017

Оставлял тут отзыв 18 мая, вот прошло еще время, резюмирую:
проектор показал себя хорошо! изображение так же радует! могу отметить, что даже мои родственники справились с ним. без инструкций! это вообще достижение! так что мое общее впечатление: пятерка!

26.05.2017

Моя знакомая была в Германии и я спросила у нее про эту марку, и она мне прислала фотки. Знаете, это меня успокоило, и я очень рада что у нас теперь есть возможность купить такой проектор! РЕКОМЕНДУЮ
Хорошо собран, сам по себе симпатичный, показывает как надо! Мы купили в офис, очень довольны. Читается весь текст легко

22.05.2017

В выходные удалось потестить хорошенько проектор, хоккей все дела)
О это просто находка, как же это круто дома на большом экране смотретьспорт
рекомендую!

18.05.2017

На самом деле проектор нормально себя показал, спустя 16 дней использования ничего не сломалось, не отвалилось.Посмотрим что будет дальше!

Считаю что немного дороговато, но это наше дело покупать или не покупать.

17.05.2017

Видела их в Германии в магазине, специально купили второй, чтобы сравнить - модели идентичны! Нам очень нравится! Может это и не супер уровень кинотеатральных, но домой такое и не надо

17.05.2017

хороший проектор, можно посоветовать домой
я лично показываю мультики детям перед сном на потолке :) Засыпают очень быстро)

16.05.2017

Нам надо было купить проектор для детской. чтобы показывать малому мультики на стене.
ну вот именно так у нас и появился Ледминокс. Мы люди не киношники, но сам сервис, доставка и ну самое главное проектор, нам очень подошел. Так что могу рекомендовать

11.05.2017

Хочу выразить благодарность этому интернет-магазину. Я заказала проектор в школу, специально, чтобы дети смогли делать интерактивные презентации. Другой магазин нам поставил срок доставки 29 апреля, вот наступил день 29 апреля, а у нас тишина! Я вызванивать - тишина.
Короче пропали вообще без вести.

В итоге мне срочняком надо искать, потому что уже сроки жмут из-за тех товарищей. Обратилась в pixelive, ребята мне привезли день в день! Я такие чаевые никогда никому не оставляла.

Спасибо за то, что спасли наши презентации!

10.05.2017

Сниму звезду за опоздание курьера (45 мин). Знаю, что он не штатный сотрудник, но нужно работать по регламенту.

Сам проектор соглашусь нормальный. Стоит своих денег

04.05.2017

Сегодня мне доставили проектор Ledminox!
Хочу написать развернутое мнение. Садитесь по-удобнее и читайте.
Не страдаю графоманией , но тем не менее.
Начнем с того, что я хотела купить себе проектор домой. Ключевые моменты, которые мне были нужны:
- качество изображения, само собой
- уровень шума
- хорошая контрастность.

Позвонив в магазин, я удивилась рекомендации менеджера по продажам, который представился Михаилом, что по моим запросам мне лучше всего подойдет Ledminox - 900. Да, он самый дорогостоящий из всей линейки, но в деньгах я не стеснена, поэтому согласилась.

И так, дошло время оформления доставки в мой город. Я живу в Нижнем Новгороде, у нас вообще особо нет хороших магазинов с техникой, поэтому приходится заказывать в московских. Служба доставки, которая сотрудничает с Ledminox - это EMS, ну по крайней мере мне привез курьер этой службы. Сразу хочу отметить, что у магазина НЕТ СВОЕЙ СЛУЖБЫ доставки!!! Поэтому, если курьер опоздал или на складе что-то перепутали, не тот проектор забрали - это не вина самого магазина! Накосячить могли именно в службе доставки. Поэтому не стоит винить сам магазин.
И вот пришел момент самой доставки мне в квартиру.
Естественно по условиям самого магазина, оплата свершилась только при получении и осмотре проектора. Я не отпускала курьера, пока сама не проверила все лично.
Упаковано все было очень плотно. Проектор хорошо зафиксирован в коробке пенопластом, по
тому повреждения при перевозке на дальние расстояния - это не проблема. Я себе оставила заводскую упаковку, на случай перевозки проектора , например, на работу.

Собран на мой взгляд, хорошо собран, не люфтит. Удобное расположение кнопок и всех регулировочных элементов.

Не сильно шумит! На моей прошлой работе был сони, он шумел очень сильно. Это надоедало конкретно.


Первый фильм, который я на нем посмотрела - это Титаник. Я под огромным впечатлением! Размер имеет значение все-таки :) Фильм пересмотренный уже десятки раз приобрел новые "краски". Рыдала в конце белугой, на компе такого эффекта нет. Боюсь вообще даже включать Хатико или что-то в этом духе. Потом ночью спать будет невозможно :)

В связи со всем, хочу резюмировать, что да, марка не наслуху. Но проектор хорошо себя зарекомендовал, пользуюсь МЕСЯЦ. Потеряла правда крыжечку от линзы, но это решилось покупкой новой. Сама виновата)

Что понравилось: Проектор, сборка, качество изображения

Что не понравилось: Спустя месяц не нашла

04.05.2017

Маша! (отзыв снизу)

Берите в офис не пожалеете! Надеюсь вы зайдете почитать ответ

Нам понравилась цена конечно же, сборка, хороший звук воспроизводит! Так что мы советуем всем отделом логистики)

03.05.2017

Отличная сборка, хорошая цветопередача.

Смотреть дома теперь одно удовольствие!

Можно посоветовать знакомым и друзьям

Думаем в офис купить на работу, чтобы презенташки показывать

03.05.2017

Смотрим футбол, пьем пивас, мощно!
Все видно зашибенно

28.04.2017

А я купил 800ю модель .Вполне дойная вещица за такие деньги учитывая сколько в нем есть опций.

19.04.2017

Вот Вася, хватит засорять своими комментариями! Даты просто спустя месяцы. Имя одно и тоже! Докажите что вы клиент! Покажите номер заказа!

У меня дома Ледминокс! Вам могла попасться подделка

03.03.2017

Странно читать такой негатив) Явно же, пишут конкуренты. тем более, когда он одинаковый как минимум на трех сайтах. Я сама покупала проектор и точно знаю, как он выглядит - никаких люфтов, плохого качества сборки, запаха пластмассы точно нет! Видимо, люди Китай не видели никогда))

01.03.2017

Поддерживаю мнение большинства. Проекторы у Ледминокс - очень стоящие и точно достойны внимания покупателей. Я лично советую ЛМ - 900. Крутая техника. И что главное, в применении проста. Думала, что не разберусь. Но нет, мне даже с первого раза удалось хотя с техникой я уж точно на ВЫ.

01.03.2017

Добрый день, Василий. От лица компании LEDMinox, полностью опровергаю Ваш отзыв. В интернете Вы можете найти подделки видеопроекторов LEDMinox. Технические характеристики, в указанных Вами моделях абсолютно не соответствуют характеристикам LM-900 и LM-700 + китайская сборка проекторов говорит сама за себя. Будьте бдительны при осуществлении заказов на сторонних сайтах, не покупайте подделки торговой марки LEDMinox. С уважением, компания LEDMinox.

26.02.2017

Отвратительный проектор. Очень сильный шум, настроить проекцию невозможно нормально без сохранения пропорций( Ко всему прочему прислали бракованый проектор с искривленной линзой. Фирма деньги вернуть отказывается!!! Все попытки связаться с фирмой безполезны, твой номер и адрес почтового ящика в черном списке. Собираю документы для подачи в прокуратуру на мошеннические действия фирмы!

25.02.2017

Неплохие китайские проекторы.
Ledminox700 это китайский Excelvan CL720, цена 9000 на Алибабе
Ledminox 900 это китайски
фирмы Ledminox в германии не существует.
Отзывы левые.

16.02.2017

Здравствуйте, Вита Олуянова. Мы посмотрели по нашей базе покупателей с такой фамилией, никаких данных не обнаружили. Прошу Вас предоставить фото чека или номер заказа товара из нашего магазина. В противном случае прошу Вас не писать недостоверную, абстрактную информацию. С уважением, Менеджер LEDMinox.

13.02.2017

Если желаете быть обманутыми то проекторы Ledminox ваш выбор!
Никакой Германией даже не пахнет(хотя и возможно фирма там зарегистрирована). Китай в самой жуткой форме, ужасное литьё, огромный люфт регулировочных элементов. Яркость не соответствует заявленной. Но апофеоз всего регулировка трапеции.
Отзывы на данную компанию сугубо положительные и как под копирку одинаковые, посмотрим сколько продержится мой отзыв, если конечно пройдёт проверку.

07.02.2017

Не удивлен положительным отзывам. Компания мне тоже понравилась. Проекторы немецкие, оригинальные, не подделка. Очень хорошее hd разрешение, все четкое и яркое. Можно настроить под себя. В общем, рекомендую.

02.02.2017

Оплата после того, как все проверишь и убедишься, что проектор рабочий пришел. Я уже так один раз покупал по 100% предоплате. Доверился менеджеру, который уверял, что все будет супер. А на деле техника и месяц не прослужила. Ледминоксу уже четвертый месяц. Работает стабильно хорошо. Очень нравится! Спасибо компании!

01.02.2017

Покупкой осталась я очень довольна, делала с подругами такой подарок нашей имениннице-порадовали ее. Бывает же мечта у людей-проектор, вот мне бы такие мечты,хотя потом всем вместе смотрели кино.конечно,впечатлилась, даже лучше чем в кинотеатре.
Спасибо консультанту Сергею, очень помог в выборе!

28.01.2017

Классный проектор - пользуюсь третий месяц - все супер.Отличное изображение для такого компактного размера, нормальная производительность и адекватная цена. Спасибо компании Ледминокс за оперативную доставку в другой регион и долгую гарантию.

22.01.2017

Взял Ледминокс, потому что доверился положительным отзывам. Ну и обзоры в интернете смотрел, где сравнивали между собой бренды и говорили о плюсах и минусах каждого. Ледминокс устроил по большинству параметрам: доступность, цена, функции. Спасибо этой фирме. Очень быстро привезли проектор домой.

21.01.2017

Взял LM 800 - это получше, чем самая первая модель. но и дешевле, чем последняя. Золотая середина, так сказать. Проектором я доволен. Очень хорошо показывает. Часто устраиваем семейные просмотры фильмов.

20.01.2017

Спасибо за классный проектор! Отлично все показывает, и звук хороший. Экран купили и теперь у нас дома полноценный кинотеатр. Можно даже шторы не сильно зашторивать, и так все нормально видно. Настройки на самый максимум выставили.

19.01.2017

Рекомендую к покупке! Проектор с легкостью может заменить телевизор любой диагонали. У меня LEDMinox LM 900 - очень им доволен. Часто с женой смотрим фильмы вечерами, после трудового дня. Расслабляет отлично!

18.01.2017

Моя модель - ЛМ-700. Простая, надежная и меня всем устраивает. Экрана пока нет, но даже просто с трансляцией на белую стену смотрится неплохо. Конечно, экран в скором времени куплю и тогда у меня будет полноценный кинотеатр!

17.01.2017

Хороший магазин. Цены нормальные. Не скажу, что прям дешевле не найдете. Может, и есть - но точно не Германия. А Китай я брать не хотел. Поэтому для меня Ледминокс - лучший выбор.

16.01.2017

У меня проектор от Ледминокс. Доволен им полностью. Вообще никаких минусов за 5 месяцев непрерывного использования не выявил. Очень достойный прибор - советую Ледминокс всем.

15.01.2017

Проектор, купленный в прошлом году, заменил мне телевизор с легкостью! Включаю телек теперь редко. В основном, если нужно посмотреть фильм или трансляцию футбола/хоккея (очень люблю спорт), то обязательно использую проектор. ЛМ 800 - мой выбор.

14.01.2017

Проектор Ледминокс мне понравился сразу - в настройках я быстро разобрался. Подключать его вообще не сложно и просто все. Он почти не нагревается, работает бесшумно, изображение яркое и качественное.

13.01.2017

Я покупал проектор Ледминокс ЛМ 800 в прошлом году, в начале осени. Нравится мне он очень. Учитывая, что я много не потратил. Тем более, бренд немецкий, это дает некие гарантии (я так думаю) на то, что долго прослужит и не сломается через месяц.

12.01.2017

Этот проектор отлично нам подошел для "создания" домашнего кинотеатра. Даже не думала, что такой маленький приборчик может с легкостью заменить целый телевизор! Не скажу, что мы теперь вообще ТВ не включаем, но через проектор смотреть гораздо удобнее и интереснее.

11.01.2017

Из всего обилия проекторов я выбрала именно этот по двум причинам: 1. у Ледминокса быстрая доставка (и недорогая). 2. Это Не Китай, а Германия. Следовательно, качество на порядок выше. Собственно, с этими выводами не ошиблась. Проектор отличный!

10.01.2017

Хорошо, что выбрали этот магазин - привезли проектор быстро. Он очень понравился. Такой маленький по размерам, но работает хорошо. Пользуемся им уже порядка пяти месяцев. У нас самая последняя модель на сегодня - Ледминокс 900.

09.01.2017

Проектор мне понравился своими характеристиками. Ну и бренд проверенный, лично у меня на слуху. Не Китай никакой. Цена более, чем устроила. Решила купить. Пользуюсь им уже почти 4 месяца. Часто подключаю к ноутбуку. Да и через другие устройства отлично показывает.

07.01.2017

О покупке проектора задумывались давно. Очень хотелось купить так, чтоб раз и навсегда. Поэтому, на цену особо внимания не обращали. Главное для нас было - функционал и бренд. О Ледминоксе знаю, слышал, вернее. Присмотрелись к ЛМ-900 - на сегодняшний момент, к самой последней выпущенной модели. Ее в конечном счете и купили. Пока довольны, даже очень. Отличный проектор с большим количеством функций.

06.01.2017

Взял Ледминокс 700 себе. Проектор хороший, компактный, отлично показывает, легко настраивается, не зависает, не шумит совсем. Одни плюсы пока что. Хоть и мало им пользуюсь, но уверен, что буду доволен этой моделью и в дальнейшем. Все-таки, немецкий бренд - это говорит о многом.

05.01.2017

Покупал проектор для домашнего использования. Модель ledminox900. Очень порадовала техника. Ценник относительно небольшой для подобного рода характеристик. Со своим прямым предназначением справляется на отлично.

04.01.2017

Хороший магазин. Доствка у меня лично была быстрая. Сам проектор пришел хорошо запакован. Настройка простая совсем. Думала, не справлюсь сама, но нет - все получилось даже без привлечения супруга. Уже потестили. Два фильма посмотрели. Все хорошо показывает. Довольны!

03.01.2017

Я Вам очень признателен и благодарен! За 5 дней доставили проектор ко мне домой! Все шикарно просто - не передать словами, как я рад! Просто очень давно хотел и искал конкретную модель. Нашел в этом магазине - сразу заказал. Все супер!

Компания LEDMinox занимается производством и поставками видеопроекторов, изготовленных по технологии LCD3. Наши компактные системы востребованы на рынке домашней и офисной техники.
Проекторы LEDMinox отлично подходят для создания домашнего кинотеатра, оснащения учебных аудиторий и конференц-залов. Наша техника обеспечит правильную передачу цветов и высокое качество изображения при трансляции статичных презентаций и динамичных сцен в блокбастерах. Изготовленная и поставленная нами техника поддерживается разработчиками и получает регулярные обновления прошивки.

Добавить отзыв о LEDMinox

Как Фирма 2008-2013, - правдивые отзывы о компаниях, каталог компаний.